在上一篇文章中，我們談到為何要學數學，以及數學力的七個面向。接下來，讓我們一起來了解數學力七面向中的後五個面向吧~
轉換也分為兩個面向。
其一是「換句話說」，其二是「因果關係」。
數學思維中的「換句話說」指的是兩句話完全相等，也就是「等價轉換」。
例如在棒球比賽中，若A隊勝利，則A隊的分數超過B隊一分以上。
讓我們回憶前面所提到證明的概念，若是從必要條件(小範圍)到充要條件(大範圍)的命題必然為真。那「A隊勝利」和「A隊的分數超過B隊一分以上」哪一個是必要條件(小範圍)，哪一個又是充要條件(大範圍)呢?
若是熟悉棒球規則的人，便會發現無論哪一種說法在前，都符合邏輯
A隊勝利= A隊的分數超過B隊一分以上
A隊的分數超過B隊一分以上= A隊勝利
兩種說法的範圍相同，亦即兩者同時為必要條件(小範圍)也同時為充分條件(大範圍)。
像這樣即使前後互換，命題依然成立的時候，我們就把兩種條件都稱為「充要條件」，也就是「等價」。
而這時，並不會出現任何邏輯上的破綻。
在數學學習上，我們也早已學過等價轉換:
長方形=所有角度皆相等的四角形
所有角度皆相等的四角形=長方形
聽起來等價轉換是常常出現在日常生活中的事情，在鍛鍊表達力的課程上，「如何不傷人的將心中的話換句話說」更是必修課。
另外，「等價轉換」也可活用在「將心願化為行動上」。
在資格考試中，往往會羅列通過考試的條件。
假設通過資格考試需同時滿足三年以上的實務經驗、筆試正確率達到百分之八十、通過面試等三項條件。
若是單獨拆開來看，三項條件各自的範圍都比通過資格考試來的大(大範圍)，但在三項必要條件(大範圍條件)相疊和後(同時滿足三項條件)，其面積和「通過資格考試」一樣大。
就此例來說，我們只要知道「滿足實務經驗、筆試和面試」等三項條件，和「通過考試」是等價關係，就可以把「想要通過考試」的心願，轉換成「累積三年實務經驗」、「用功念書讓筆試正確率達到百分之八十」、「努力準備通過面試」等三項具體行動。
如此一來，便可藉由等價變換把希望化為行動了~~
第二個面向，是「因果關係」。
在日常生活中，有不少必須根據眼前結果追溯原因，或者預測當下的行動會造成甚麼結果的時候。想必常常會出現憑經驗或直覺判斷，結果卻導致重大紕漏的情況吧!
因此，這個小節便是要學習如何正確地將原因變換為結果、把結果變為原因。
為此，我們需要一個好用的工具。
請容我介紹一個老朋友:「函數」
乍聽便有些頭痛的讀者們不用擔心，這裡只會用到最基礎的概念(笑
「函數」中的「函」就是「將信投進郵箱裡」的「函」，也就是「盒子」的意思。
換句話說，「函數」就是「盒子裡的數字」的意思。
盒子裡的數字?
這都甚麼跟甚麼阿……。
請暫且放下對數學的恐懼，再多留三分鐘吧~
所謂的「盒子」有兩個口，一個是「輸入口」、一個是「輸出口」。當我們從輸入口放入一個數字後，另一端的輸出口便會跑出相對應的數字。
舉例來說:
看出來甚麼規則了嗎?
沒錯!每輸入一個X，對應的Y值便會是X的兩倍
所以寫成算式的話就是Y=2X。
此時最重要的一點，就是我們可以自由決定X的值，而Y的值則隨著X的值變化。
這時我們便將X稱為自變數(可自由決定的數)，把Y稱為應變數(順應變化的數)。
像這樣當Y值取決於X的值時，我們就會說Y是X的函數。
當Y是X的函數時，每個X會對應到一個特定的Y
好了!接下來便讓我們將「函數」運用到「因果關係」中吧!
我們的生活周遭常存在著各式各樣的因果關係，很多乍聽合理但細想又覺得怪怪的因果敘述，便是函數概念運用在這裡的原因。
運用函數，便可鍛鍊找出真正原因的能力。
所謂「真正的因果關係」，指的是「結果為原因的函數」這種關係。
函數有一個重要的特性，就是每個X會對應到一個特定的Y，若無法對應的話(例如X=Y平方，此時一個X會對應到兩個Y)，函數關係便無法成立。
也就是說，「真正的因果關係」=「一個原因只會對應到一個特定的結果」
為何要如此重視一個原因只會對應一個結果呢?
這是因為如果一個原因會導致一種以上的結果，便失去了預測後續或反推起因的功能。
反過來說，若是原因和結果之間有真正的因果關係，對形成結論會有巨大的助益。
最後，在判斷真正的因果關係時，有兩件事要特別注意:
1.設想的原因是否為自變數(獨立於其他情況之外)
舉例來說，「他聚會遲到是因為路上塞車」是否為真正的因果關係呢?
如果是這種遲到大王的朋友，在等人等到滿腔怒火時聽到這種理由，想必會在心裡吐槽:「少來，別以為我不知道，明明又是睡過頭了吧!」
這時，您已經在不知不覺中，用到檢視真正因果關係的方法了(大笑
由於「真正的原因」是一段「故事」從原因到結果的起點，因此不受其他任何情況制約
與此同時，一個乍看之下貌似「原因」的「假原因」，其實只是「真正原因」的結果，而非「故事」的起點。
在這樣的情況下，我們必須有能力辨識出「假原因」是「因果關係A」的結果，並且探究出「真正的原因」
回到前面的例子，當某個遲到大王說「聚會遲到是因為路上塞車」，作為他朋友的你，應該很輕易就能辨識出這並非真正的原因，只是「睡過頭」的結果而已。
因此，聚會遲到和路上塞車便並非真正的因果關係，真正要檢討的應該是時常睡過頭這個令人困擾的習慣XD
相對來說，若是一個非常守時的人在預定的時間出門，卻因為前方車禍引發的大塞車而遲到，此時我們便有理由相信，「路上塞車」與「遲到」之間是真正的因果關係。
2.原因是否只對應到一種結果(函數關係成立的重要條件)
舉例來說，「生意談得很順利是因為出門時先跨出右腳」這句話是否成立呢?
「怎麼可能呢?這兩者根本沒有關係，先跨出左腳也有談生意順利的時候吧!」
是的，這便是上述所提及的，原因是否只對應到一種結果。
先跨出右腳，生意可能談得順利也可能不順。
反之，左腳亦然。
如此，每種原因(左右腳)都對應一種以上的結果。
像這種無法從原因預測結果的句子，就並非真正的因果關係。
抽象化又可細分為兩個面向，分別是:
1.抽象化
「抽象」在字典中的意義為:「分析事物或表象，進而掌握特定要素、面向或性質」。
也就是說，「抽象化」的意義為:「可以簡單明瞭的呈現出具體事物的共通本質」
比如在中學接觸過的數學中，常會要求我們將有規律的數字變化轉為以”n”表達的形式。
例如有一串數字:2、4、6、8、10、12……便可以採用簡單明瞭的”2n”來呈現。
而在生活中，也隨處可見抽象化。
當你看到一連串名詞:汽車、火車、飛機、輪船、腳踏車…時，大概率會將它們歸類在「交通工具」中。而無論是金龜車、跑車、小轎車、廂型車等，都會歸類在「汽車」的範疇。
不管它具體表徵為何，只抽出共同的特性進行命名、分類，這便是一種抽象化。
2.模型化
另一種重要的抽象化方式，就是「模型化」。
所謂的模型化，就是將複雜的現實簡化成單純的模型。
而一旦根據某種假設將現實簡化，勢必會刪去一些非必要的因素，此時取捨便會相當重要。
例如「圖論」便是相當經典的案例之一。
圖論中的圖，指的是「由點和兩點之間的連線」所組成的圖，據此，路線圖便是一種典型的圖論。
(圖片取材自網路)
就像大家所熟悉的台北捷運圖般，去除掉實際距離、地形、其他交通路網等雜訊，單純顯示站點與站點間的相對位置和轉乘資訊。
另外，圖論的概念也可用於安排會議和其他的任務管理上相較於「歸納出本質」的抽象化，模型化是更深入的抽象化方法，但由於篇幅限制，這裡不再敘述，想了解的話請自行翻閱永野老師的著作囉~
抽象化能讓事情變得簡單明瞭，但有令人聽不明瞭或無法運用的風險。
此時最好的方法，便是舉出一兩個例子讓對方明白。
而這種「舉例」的動作，便是「具體化」。
一個高效率的說明應要往返於具體和抽象之間，既有抽象化的簡單明瞭，也有具體化的鉅細靡遺。
其中，有兩座橋梁連接這兩大區塊，分別是從抽象「演繹」到具體，和從具體「歸納」成抽象。
演繹法和歸納法，是兩種由已知情況正確推導出未知情況的推論方法，但兩者的推論路徑截然不同。
首先，演繹法是:「從適用於全體的理論推導至個別的狀況」
例如「櫻花會凋落，所以這株櫻花總有一天也會凋落」
相反的，歸納法則是:「從個別的情況推導出適用於全體的結論」
以櫻花的例子來說，便是「大前年、前年、去年的櫻花都會凋落，所以今年的櫻花必定也會凋落」
透過大家耳熟能詳的兩種工具，便可以有條理的說明、推導一件事情了。
但需要注意的是，這兩種方法都各有其不足之處。
演繹法是透過已知的結論去推導具體例子，若是抽象結論本身有誤或只能套用在受限制的範圍時，那推廣出具體例子便是一種危險的行為。
而歸納法是用具體事例總結出一個抽象理論，在無法驗證所有事例或提出同等的邏輯證明前提下，最後得到的抽象結論不見得是無法動搖的真理。
1.逆向思考
想必大家在小學時都回答過像這樣的問題:
求白色部分的面積?(僅為示意圖，不太精準)
這種奇怪形狀的圖形，我們應該怎麼求其面積呢?
沒錯!就是將正方形的面積扣除灰色扇形部分的面積
=10*10-10*10*π*1/4=100-25π
當無法直接求解時，改從全體扣除欲求解以外的部分，就是標準的逆向思考
2.逆命題與對偶命題
如果將逆向思考放在命題中，該怎樣表述才是原命題的「逆」命題呢?
因為數學是一門在用字遣詞上，定義相當嚴謹的學問。
要以數學邏輯討論一件事情，最先講究的就是定義。
所以以下先來匯總和命題有關的數學定義~
a. 逆:原命題前後相互對調
b. 否:原命題的前後不變，但分別改為否定
c. 對偶:原命題的前後互相對調，且分別改成否定
若以圖形表示，就會像這樣:
(掃描自原著作)
舉「努力一定能得到回報。如果努力沒有得到回報，代表那還稱不上努力」為例，作者先稍微簡化了這句名言，變成:
「如果努力沒有獲得回報(P)，就不是真正的努力(Q)」
根據此命題，我們可以衍生出以下三道命題:
A. 如果不是真正的努力(Q)，就不會得到回報(P)
B. 如果努力得到了回報(非P)，就算是真正的努力(非Q)
C. 如果是真正的努力(非Q)，就一定會獲得回報(非P)
答對了嗎?
A為逆命題、B為否命題、C為對偶命題。
介紹了這麼多名詞後，究竟哪一個才是原命題的真正「逆向思考」呢?
讓我們從圖形的角度去思考
首先，如果原命題「若P則Q」(如果努力沒有回報，就不算是真正的努力)為真(小→大)，則P為「小」(努力沒有回報)、Q為大(不是真正的努力=虛假的努力)。
畫成圖形就長這樣:
(掃描自原著作)
接下來，我們來看看此命題的對偶「若Q’則P’」
(如果是真正的努力，就一定會得到回報)吧~
當P比Q還小時， P’就會比Q’還大
(萬華區的面積比整個台北市小，但以全台灣來說，萬華區以外的面積比台北市以外的面積還大)
畫成圖形的話，就會長這樣:
(掃描自原著作)
換句話說，「P(小)和Q(大)的交集」與「Q’(小)和P’(大)」等價。
因此當「若P則Q」為真時，「若Q’則P’」肯定為真。
綜上所述，當原命題的真偽難以判斷時，改以其對偶來思考問題，是一種非常有用的「逆向觀點」(舉例請參考原著作~)
好了，終於來到最後一個面向了(撒花
對數學的美感聽起來是數學愛好者的專利，但其實也是有跡可循的(笑
在讀過一遍之後我認為，與其說美感，不如說是一種因為協調而感到優美的感覺~在甚麼時候會感受到這種協調的美感呢?有以下三點:
1. 講求合理性(邏輯之美)
2. 利用對稱性(左右、結構對稱的協調美感)
3. 追求一致性(單純的美麗，化繁為簡的美感)
在最後的最後，請容我以小說「博士熱愛的算式」中的一段話為這個面向作結。
(歐拉公式是迄今數學家咸認最「美」的一個公式，將「追求一致性」的美感完整詮釋):
歐拉用了這個極不自然的概念，編織出一個公式。
他從這些看似毫無關係的數字中，發現了彼此之間自然的關聯。
e的ʌ和i之積的次方再加上1就變成了0。
我重新看著博士的紙條。永無止境地循環下去的數字，和讓人難以捉摸的虛數畫出簡潔的軌跡，在某一點落地。雖然沒有圓的出現，但來自宇宙的ʌ飄然地來到e的身旁，和害羞的i握著手。
他們的身體緊緊地靠在一起，屏住呼吸，但有人加了一以後，世界就毫無預警地發生了巨大的變化。
一切都歸於零。 歐拉公式就像是暗夜中閃現的一道流星；
也像是刻在漆黑的洞窟裡的一行詩句。
我被這個公式的美深深地打動了，再度將紙條放進票夾。
走下圖書館的樓梯時，我回頭看了一下，數學書籍區仍然沒有一個人影，一片寂靜，沒有人知道那裡隱藏著多麼美的事物。